Como seguramente sabrás, en la actualidad, en el currículo de matemáticas de la etapa de Secundaria las demostraciones se trabajan de una forma implícita e informal, como un proceso que debe integrarse mediante el contenido matemático específico. Es decir, no constan como un contenido explícito. La demostración, más que ser un proceso de deducción formal, hoy día está más relacionada con conceptos como explicación, prueba o argumentación, más asequibles para estudiantes de Secundaria.
Los procesos de demostración deben ser parte fundamental de las matemáticas.
Los expertos y expertas en didáctica de las matemáticas suelen coincidir en la relevancia de las demostraciones matemáticas y la necesidad de introducirlas, sobre todo en la etapa de Secundaria. Defienden que los procesos de demostración deben ser parte fundamental de las matemáticas porque, entre otros motivos, pueden ser mecanismos muy valiosos para favorecer la comprensión.
Existen dos enfoques diferentes a la hora de incorporar la demostración matemática en el currículo educativo:
- Como contenido específico: es decir, como un contenido explícito que forma parte de los bloques de contenidos del currículo.
- Como proceso de enseñanza: es decir, como un proceso implícito que se integra en la enseñanza del contenido matemático específico.
Integrar los procesos de argumentación y prueba de manera implícita dentro del currículo, es decir, como un proceso de enseñanza-aprendizaje es una excelente estrategia para aprovechar todas las ventajas pedagógicas de la demostración matemática.
A través de juegos y técnicas como los juegos demostración, las actividades manipulativas, las rutinas de pensamiento o las estrategias puedes conseguir que tus alumnos fomenten la deducción, la inferencia, la refutación y la argumentación.
Descubre los beneficios de integrar la demostración matemática en tus clases
En el proceso de descubrimiento y aprendizaje de conceptos y de resolución de problemas matemáticos, los razonamientos inductivo y deductivo juegan un papel muy importante. La manera en que abordamos la demostración como contenido didáctico es clave, a su vez, para facilitar que los alumnos desarrollen la competencia matemática, y pueden beneficiarse de sus ventajas pedagógicas.
Incluir la demostración matemáticas en tu clase de Secundaria te permitirá:
- Enseñar a tus alumnos la naturaleza objetiva de las propiedades y fórmulas matemáticas.
- Fomentar el razonamiento matemático de tus alumnos.
- Ayudarles a trabajar de manera ordenada y sistemática.
- Mejorar la expresión oral y escrita de tus alumnos.
- Enseñar a tus alumnos a ser críticos y a la vez respetuosos con las opiniones y posiciones de sus compañeros.
- Fomentar en tus alumnos la capacidad de argumentar y convencer mediante la razón.
Domina la demostración matemática
Para incorporar la demostración matemática en tus clases de Secundaria antes es imprescindible tener claros ciertos conceptos asociados: ¿qué son las demostraciones matemáticas? ¿qué tipos existen? ¿para qué sirven? ¿cómo se ejecutan? ¡Vamos a refrescar conceptos!
Qué es una demostración matemática
Una demostración o prueba es un conjunto de pasos ordenados que sirven para argumentar la veracidad de un enunciado o proposición. De forma más concreta, en el área de las matemáticas se utilizan diferentes técnicas de demostración, por ejemplo: reducción al absurdo, inducción, contraposición, método directo, etc.
Las demostraciones son ejemplos de razonamiento deductivo que se distinguen de razonamientos inductivos o empíricos.
Como sabes, las demostraciones son ejemplos de razonamiento deductivo, que se distinguen de razonamientos inductivos o empíricos. Antes de continuar vamos a recordar la diferencia entre un razonamiento inductivo y uno deductivo.
Razonamiento inductivo
A través del razonamiento inductivo se llega a una conclusión a partir de una serie de observaciones de casos particulares, es decir, se pasa de lo particular a lo general. En otras palabras, el razonamiento inductivo consiste en reconocer patrones y formular conjeturas. ¡Vamos a poner un ejemplo!
Imagina que queremos completar la siguiente frase:
La suma de dos números pares es…
Para ello analizamos algunos casos particulares:
2 (par) + 6 (par) = 8 (par)
20 (par) + 62 (par) = 88 (par)
500 (par) + 14 (par) = 514 (par)
Y de este análisis, deducimos la siguiente conjetura:
La suma de dos números pares es par.
Pero ¿sería posible encontrar un ejemplo en el que esto no se cumpla? ¿Quién nos asegura que no exista? Para asegurar la validez de la conjetura será necesaria, por tanto, una demostración formal. ¡Y para ello se debe utilizar el razonamiento deductivo!
Razonamiento deductivo
En el razonamiento deductivo se comprueba una hipótesis dando argumentos válidos. En este caso, se pasa de lo general a lo particular. El deductivo es, seguramente, el tipo de razonamiento más usado en matemáticas, aunque a menudo se usa de forma conjunta con el razonamiento inductivo.
La demostración matemática es pues una argumentación deductiva formulada con el objetivo de asegurar la verdad de una proposición matemática.
Conoce los tipos de demostraciones matemáticas
Dependiendo del tipo de demostración matemática que utilices para trabajar los contenidos matemáticos, ayudarás a tus alumnos a desarrollar procesos cognitivos como la clasificación, la comparación o la generalización, ¡Vamos a recordar algunas de las técnicas de demostración matemática más habituales!
Método directo
En la demostración por deducción, o método directo, se trata de demostrar que, si se cumple la propiedad A, entonces se verifica B. Otra manera de explicarlo sería: para que se cumpla B es suficiente que se cumpla A.
Reducción al absurdo
En una demostración por reducción al absurdo, para probar que una propiedad A es verdadera, se supone que A es falsa y se llega a una contradicción.
Contrarrecíproco
Es habitual utilizar este mecanismo de demostración cuando no sabemos cómo trabajar a partir de la hipótesis A , y la negación de B es un buen punto de partida.
Doble implicación
Es decir, se trata de probar que A y B son equivalentes. O, dicho de otro modo, probar que se cumple A si, y solo si, se cumple B.
Método de inducción
El método de inducción se utiliza en general para probar propiedades de los números naturales. En una demostración por inducción comprobamos que una determinada propiedad P es cierta para, por ejemplo, el número n = 1. Entonces, si somos capaces de demostrar que P se cumple para n + 1, el principio de inducción nos dice que se verifica para todos los números naturales.
Método por contraejemplos
En este método se demuestra que una propiedad no es cierta dando un ejemplo en el que no se cumple (o sea, un contraejemplo).
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ONMAT, nuestro programa de matemáticas para la etapa Secundaria, consigue fomentar la motivación de los alumnos de Secundaria y facilitar la adquisición del pensamiento matemático. Lo hace poniendo a su alcance las herramientas necesarias para desarrollar el razonamiento matemático y el pensamiento crítico: PBL, estrategias y rutinas de pensamiento, mapas mentales, juegos demostración…
ONMAT propone un trabajo por competencias para que tus alumnos sean capaces de aplicar en su vida diaria lo que han aprendido en el aula. En concreto, las subcompetencias relacionadas con las demostraciones matemáticas son:
- Reconocer el razonamiento y la demostración como aspectos fundamentales de las matemáticas.
- Formular e investigar conjeturas matemáticas.
- Desarrollar y evaluar argumentos matemáticos y demostraciones (encontrar razones y conclusiones, descubrir suposiciones).
- Elegir y utilizar varios tipos de razonamiento y métodos de demostración.
- Hacer inferencias (explicación causal, predicción, generalización, razonamiento por analogía, razonamiento condicional-deducción).
Si quieres saber más sobre las estrategias que utilizamos en ONMAT, en la guía que descargarás a continuación te mostramos cómo enseñar a pensar a tus alumnos de Secundaria en tu clase de matemáticas y verás algunas actividades concretas que utilizamos en ONMAT. ¡Que la disfrutes!
Con ONMAT conseguirás que tus alumnos se motiven gracias a un diseño de actividades diversas que fomentan la comprensión de los conceptos matemáticos y favorecen que los alumnos utilicen métodos de razonamiento y argumentación. ¿De qué actividades hablamos concretamente?
- Los juegos de demostración son dinámicas de juego que permiten a los alumnos deducir conceptos o leyes matemáticas mediante la experimentación.
- Las actividades manipulativas son fundamentales para fomentar el aprendizaje significativo. Permiten a los alumnos construir su propio conocimiento matemático y pasar de lo concreto a lo abstracto partiendo de situaciones reales y contextualizadas.
- Las actividades de investigación proporcionan a los alumnos la oportunidad de investigar alrededor de un tema. Están pensadas para fomentar la motivación de los alumnos, que deben utilizar sus habilidades para descubrir un concepto matemático determinado.
- Las estrategias de pensamiento son modelos de tareas que promueven la metacognición o la reflexión sobre lo que se ha aprendido y que permiten evaluar el propio pensamiento. Ejercitan habilidades de análisis, comprensión, clasificación, comparación y contrastación, resolución de problemas y toma de decisiones.
- Las rutinas de pensamiento son pautas cognitivas basadas en preguntas o afirmaciones que fomentan el pensamiento. Permiten evidenciar de manera clara lo que los alumnos saben, sus carencias, sus herramientas y cómo las utilizan.
- El PBL o Aprendizaje Basado en Problemas es un método que permite poner el foco de atención en cómo actúan los alumnos delante de un problema real planteado en el aula. Se trata de una situación matemática problemática real en la que el alumno debe buscar estrategias que le permitan resolverla.
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